8. موضعیات

8.1حالت‌های فیزیکی و بردارهای حالت

موضع نخست: حالت یک سامانهٔ فیزیکی منزوی به‌طور کامل با یک بردار حالت توصیف می‌شود — برداری در فضای برداری مختلط، نرمالیزه به طول ۱. واژهٔ به‌طور کامل بار سنگینی دارد: این بردار همهٔ آنچه را که می‌توان دربارهٔ سامانه دانست نگه می‌دارد. برای یک کیوبیت فضا دوبعدی است و حالت کلی نوشته می‌شود α|0⟩ + β|1⟩ با α و β مختلط. دو عادت مهندسی از این‌جا نتیجه می‌شود. نخست، نرمال‌سازی قیدی است که کد شما باید اعمال یا بررسی کند: ‏np.linalg.norm(psi) باید برابر ۱ باشد (با تلورانس ممیز شناور). دوم، بردار حالت چیزی نیست که بتوانید آن را بخوانید؛ ابزار دفترداری‌ای است که آمار اندازه‌گیری از آن مشتق می‌شود. فصل‌های ۹ تا ۱۱ دقیقاً همین ماشین‌آلات را باز می‌کنند.

8.2کمیت‌های مشاهده‌پذیر و اندازه‌گیری

موضع دوم: هر کمیت اندازه‌پذیر — انرژی، اسپین، پاریته — با یک مشاهده‌پذیر (observable) متناظر است؛ یک عملگر هرمیتی A. هرمیتی یعنی A = A† (برابر با ترانهادهٔ مزدوجش)، که تضمین می‌کند مقدارهای ویژه حقیقی‌اند: هرگز عدد مختلط اندازه نمی‌گیرید. نتیجه‌های ممکن اندازه‌گیری دقیقاً مقدارهای ویژهٔ A هستند. اگر سامانه در حالت |ψ⟩ باشد، احتمال به‌دست‌آوردن مقدار ویژهٔ aᵢ برابر |⟨aᵢ|ψ⟩|² است که |aᵢ⟩ بردار ویژهٔ متناظر است. برای کیوبیت‌ها مشاهده‌پذیرهای مهم عملگرهای پائولی X و Y و Z هستند — هر خواندن سخت‌افزاری در این کتاب به اندازه‌گیری یکی از همین‌ها فرومی‌کاهد. این توالی را در ذهن نگه دارید: یک مشاهده‌پذیر انتخاب کنید، حالت را روی پایهٔ ویژه‌اش تصویر کنید، دامنه‌ها را به توان دو برسانید. کل مدل اندازه‌گیری همین است.

8.3تحول یکانی و سامانه‌های مرکب

موضع سوم: تا وقتی سامانهٔ اندازه‌نشده تحول می‌یابد، حالتش با یک عملگر یکانی U تغییر می‌کند: |ψ⟩ → U|ψ⟩. یکانی یعنی U†U = I: عملگر نرم بردار را حفظ می‌کند، پس کل احتمال حفظ می‌شود، و وارون‌پذیر است — تحول کوانتومی خودش هیچ اطلاعاتی را از دست نمی‌دهد. به همین دلیل گیت‌های کوانتومی باید برگشت‌پذیر باشند و نمی‌توانید «فقط یک حالت را کپی کنید» (عدم شبیه‌سازی، ۱۳.۱). موضع چهارم سامانه‌های مرکب را پوشش می‌دهد: فضای حالت دو سامانه، حاصل‌ضرب تنسوری فضاهای تک‌تک آن‌هاست. حالت دو کیوبیت در فضای ۴ بعدی و n کیوبیت در 2ⁿ بعد زندگی می‌کند. نکتهٔ حیاتی این است که فضای ترکیبی بردارهایی دارد که حاصل‌ضرب تنسوری نیستند — حالت‌های درهم‌تنیده — و این، مهم‌ترین واقعیت کل این کتاب است. بخش پنجم مستقیماً روی آن ساخته می‌شود.

Postulates as a pipeline:

  state  |ψ⟩ ──(unitary U)──▶ U|ψ⟩ ──(measure A)──▶ eigenvalue aᵢ  with probability |⟨aᵢ|ψ⟩|²
                                                     │
                                                     ▼
                                          state collapses to |aᵢ⟩

  composite: state space = space₁ ⊗ space₂  (dimensions multiply, not add)

8.4قاعدهٔ بورن و ارزش‌های مورد انتظار

قاعدهٔ بورن پل میان دامنه‌ها و داده است: اندازه‌گیری مشاهده‌پذیر A روی حالت |ψ⟩ نتیجهٔ aᵢ را با احتمال pᵢ = |⟨aᵢ|ψ⟩|² می‌دهد. ارزش مورد انتظار ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ = Σᵢ pᵢ·aᵢ میانگین روی بی‌شمار تکرار است — همان چیزی که یک آزمایش محدود به shot تخمین می‌زند. دو واقعیت که مهندسان هر روز استفاده می‌کنند. نخست، ⟨A⟩² ≤ ⟨A²⟩ و برابری فقط برای بردارهای ویژه برقرار است؛ این شکاف به شما می‌گوید خواندن‌تان چقدر نویزی است. دوم، ارزش‌های مورد انتظار نسبت به حالت خطی‌اند اما نسبت به احتمال‌ها نه، و به همین دلیل تداخل می‌تواند میانگین‌ها را جابه‌جا کند به شکلی که تصادف کلاسیک توانش را ندارد. هر هیستوگرام این کتاب یک قاعدهٔ بورن تجربی است: نتیجه‌ها را نمونه‌برداری کنید، فراوانی‌ها را بشمارید، با احتمال‌های محاسبه‌شده مقایسه کنید.

8.5حالت‌های خالص، حالت‌های مخلوط و ماتریس‌های چگالی

حالت خالص یک بردار حالت است؛ حالت مخلوط ترکیب احتمالاتی کلاسیکی از حالت‌های خالص است — «دستگاه نصف وقت |0⟩ و نصف وقت |1⟩ آماده کرده» — و هیچ بردار واحدی آن را توصیف نمی‌کند. ماتریس چگالی ρ هر دو را یکجا می‌پوشاند: برای حالت خالص ρ = |ψ⟩⟨ψ| (حاصل‌ضرب بیرونی، یک ماتریس ۲×۲ برای یک کیوبیت)؛ برای مخلوط ρ = Σⱼ pⱼ|ψⱼ⟩⟨ψⱼ|. آمار اندازه‌گیری سپس ⟨A⟩ = Tr(ρA) است، همیشه. یک ابزار تشخیصی که مدام استفاده خواهید کرد: حالتی خالص است دقیقاً وقتی ρ² = ρ، یعنی Tr(ρ²) = 1؛ حالت‌های مخلوط Tr(ρ²) < 1 دارند. سخت‌افزار واقعی حالت خالص را ناقص آماده می‌کند، پس از بخش یازدهم به بعد هر «حالت» در این کتاب بی‌سروصدا ماتریس چگالی می‌شود. ρ را همین حالا یاد بگیرید تا نویز بعداً مرموز نماند.

8.6کانال‌های کوانتومی

کانال کوانتومی کلی‌ترین تحول فیزیکیِ مجاز یک ماتریس چگالی است: نگاشتی خطی، تماماً مثبت و حفظ‌کنندهٔ اثر: ρ → E(ρ). تحول یکانی حالت خاص E(ρ) = UρU† است؛ همهٔ بقیه نویزاند. اسب بارکش، کانال قطبش‌زداینده است: با احتمال p حالت را با ماتریس کاملاً مخلوط I/2 جایگزین می‌کند، وگرنه عملگر یکانی مقصود را اعمال می‌کند. اثرش بر وفاداری گیت تک‌کیوبیتی دقیقاً p = 1 − F است. کانال‌ها مثل توابع ترکیب می‌شوند: بعد از هر گیت یک کانال قطبش‌زداینده اعمال کنید و یک مدل نویز مداریِ خام اما صادقانه دارید — همان مدلی که تصحیح خطای بخش دهم فرض می‌کند. نوشتن کانال خودتان در numpy ده خط است و عبارت‌هایی مثل «amplitude damping» و «readout error» در مقالات سخت‌افزاری را برای همیشه عادی می‌کند.