11. اندازه‌گیری
11.1اندازه‌گیری تصویری و احتمال‌های اندازه‌گیری
به‌طور صوری، اندازه‌گیری مشاهده‌پذیر A یعنی اعمال اندازه‌گیری تصویری {Pᵢ} که Pᵢ تصویر روی زیرفضای ویژهٔ مقدار aᵢ است و Σᵢ Pᵢ = I. نتیجهٔ i با احتمال pᵢ = ⟨ψ|Pᵢ|ψ⟩ رخ می‌دهد. برای یک کیوبیت و اندازه‌گیری Z: P₀ = |0⟩⟨0⟩ و P₁ = |1⟩⟨1⟩، و p₀ و p₁ همان |α|² و |β|² فصل ۹ هستند. ارزش صورت‌بندی تصویرگر آن است که تمیز تعمیم می‌یابد: اندازه‌گیری چندکیوبیتی، اندازه‌گیری جزئی (فقط کیوبیت ۲) و استخراج سندروم خطا (بخش دهم) همه یک فرمول‌اند با تصویرگرهای بزرگ‌تر. در numpy، pᵢ فقط np.real(np.vdot(psi, P_i @ psi)) است. یک هشدار: تصویرگرهای مقدارهای ویژهٔ تکرارشونده روی کل زیرفضا جمع می‌شوند — جزئی که از فصل ۱۳ به بعد اهمیت دارد.
11.2فروپاشی حالت
وقتی نتیجهٔ i رخ می‌دهد، حالت می‌شود |ψ′⟩ = Pᵢ|ψ⟩/√pᵢ — بازنرمالیزه، چون نتیجه احتمال pᵢ حمل می‌کرد و بردار دوباره باید نرم ۱ داشته باشد. این فروپاشی است: اندازه‌گیری مخرب و غیرخطی است؛ تنها گام غیریکانی نظریه. دو پیامد که برنامه‌نویس باید درونی کند. نخست، نمی‌توانید حالتی را ببینید و روی آنچه دیدید ادامهٔ محاسبه دهید — سخت‌افزار یک بیت کلاسیک می‌دهد و حالت کوانتومی رفته (یا با بردار ویژه جایگزین شده). دوم، شرطی‌سازی مهم است: بعد از اندازه‌گیری کیوبیت 0 و گرفتن 1، حالت کیوبیت 1 باید به حالت شرطی به‌روز شود — تلپورت (۱۳.۵) و تصحیح خطا تماماً روی همین قاعده ساخته شده‌اند. در شبیه‌ساز فروپاشی یک خط است: دامنه‌ها را ماسک و بازنرمالیزه کنید.
import numpy as np
psi = np.array([1, 1, 1, 1], dtype=complex) / 2 # two-qubit |++>11.3اندازه‌گیری در پایه‌های مختلف: محاسباتی، X و Y
اندازه‌گیری همیشه در یک پایه است و انتخاب پایه، انتخاب پرسشی است که می‌پرسید. پایهٔ محاسباتی (Z) یعنی {|0⟩، |1⟩} همان است که سخت‌افزار فیزیکی می‌خواند. پایهٔ X یعنی {|+⟩، |−⟩} قطب دیگر را می‌پرسد: برای اندازه‌گیری‌اش H اعمال کنید و بعد Z بخوانید، چون H بردارهای ویژهٔ X را به بردارهای ویژهٔ Z تبدیل می‌کند. پایهٔ Y یعنی {|+i⟩، |−i⟩} به S† پیش از H نیاز دارد: اندازه‌گیری Y روی (|0⟩+i|1⟩)/√2 حتماً +1 می‌دهد. هیچ راز دیگری پایه‌ها را از هم جدا نمی‌کند — سه دستگاه مختصات متعامد روی همان کرهٔ بلاخ‌اند و هر دو پایهٔ غیرموازی اطلاعاتی واقعاً ناسازگار می‌دهند (اندازه‌گیری X بعد از آماده‌سازی |+⟩ قطعی است؛ اندازه‌گیری Z بعد از آن سکه‌اندازی است). طراحی الگوریتم، بیش از هر چیز، هنر انتخاب این است که در هر لحظه کدام پایه را بازجویی کنید.
Measure in basis B = rotate B to Z, then read Z:
X basis: --H-- --Z-read-- Y basis: --S†-- --H-- --Z-read--11.4ارزش‌های مورد انتظار از داده
برای مشاهده‌پذیر A با مقدارهای ویژهٔ aᵢ و احتمال‌های نتیجهٔ pᵢ، ارزش مورد انتظار ⟨A⟩ = Σ pᵢ aᵢ از N بار shot با میانگین نمونه تخمین زده می‌شود، و این همان چیزی است که آزمایش‌های سخت‌افزاری واقعاً محاسبه می‌کنند: اندازه‌گیری Z می‌دهد ⟨Z⟩ = p(0) − p(1) ∈ [−1, +1]؛ ⟨X⟩ از H-سپس-خواندن به‌صورت p(+) − p(−) می‌آید. ⟨Z⟩ = +1 یعنی قطعاً |0⟩؛ ⟨Z⟩ = 0 یعنی بیشینهٔ عدم‌قطعیت — برای |+⟩ دقیقاً همین. ارزش‌های مورد انتظار خروجی‌های مشاهده‌پذیر هر الگوریتم این کتاب‌اند: الگوریتم‌های وردشی (بخش هفتم) مستقیماً آن‌ها را بهینه می‌کنند و آزمون نامساوی بل (۱۳.۴) چهار تایشان را ترکیب می‌کند. وقتی مقاله‌ای نتیجه‌ای ادعا می‌کند، ادعا در این میانگین‌ها به‌همراه بازهٔ اطمینان‌شان زندگی می‌کند — هرگز در یک shot واحد. یاد بگیرید ⟨A⟩ ± δ⟨A⟩ را به‌عنوان واحد پول بومی محاسبات کوانتومی تجربی بخوانید.
11.5اندازه‌گیری مکرر و تخمین آماری
آماده‌سازی‌های یکسان، اندازه‌گیری‌های مکرر، شمارش فراوانی‌ها — این تستِ مبتنی بر shot است و از آمار معمولی تبعیت می‌کند. برای N بار shot، خطای استاندارد تخمین احتمال p برابر √(p(1−p)/N) است: ۱۰۰ بار shot حدود ±۵٪ می‌دهد، ۱۰٬۰۰۰ بار حدود ±۰٫۵٪. تخمین یک نسبت دوجمله‌ای است، پس بازه‌های اطمینان از جعبه‌ابزار استاندارد (یا bootstrap) می‌آیند. دو عادت مهندسی. نخست، shot را مثل زمان تست بودجه‌بندی کنید: هزینهٔ تخمین وقتی مدار ارزش‌های مورد انتظار زیادی دارد یا زمان سخت‌افزار کمیاب و نوبتی است، سریع چندبرابر می‌شود. دوم، نویز آماری را از نویز سیستماتیک جدا کنید: shot بیشتر میلهٔ آماری را تنگ‌تر می‌کند، اما سوگیری خواندن یا رانش خودِ میانگین را جابه‌جا می‌کند و هیچ تکراری آن را ترمیم نمی‌کند (بخش یازدهم). شبیه‌سازها برخلاف سخت‌افزار احتمال‌های دقیق را هم می‌دهند — برای اعتبارسنجی کد نمونه‌برداری‌تان از آن‌ها استفاده کنید.
11.6اندازه‌گیری ضعیف
اندازه‌گیری ضعیف برهم‌کنش اندازه‌گیری را چنان آرام می‌کند که اطلاعات اندکی استخراج می‌شود و حالت به‌سختی آشفته می‌شود — فروپاشی به هُل کوچک و احتمالاتی بردار بلاخ به‌سوی بردار ویژهٔ اندازه‌گیری‌شده بدل می‌شود. به‌دست‌آوردن اطلاعات جزئی p دربارهٔ حالت، آشفتگی جزئی می‌طلبد که با موازنه‌های اطلاعات-آشفتگی کمی‌سازی می‌شود. کاربردهای مهندسی: ردیابی حالت کیوبیت حین محاسبه، خواندن کالیبراسیونی که کیوبیت داده را نابود نکند، و — در آزمایشگاه‌ها — سیگنال بازخورد برای کنترل بلادرنگ. صورت‌بندی: عملگرهای اندازه‌گیری Mₘ با Σ Mₘ†Mₘ = I، ضعیف‌تر از تصویرگرها؛ حالت پس از اندازه‌گیری Mₘ|ψ⟩/√pₘ است که برای ε کوچک Mₘ ≈ I ± εP. اندازه‌گیری‌های ضعیف انباشته می‌شوند: بسیاری از آن‌ها، میانگین‌شده، حالت مجموعه را بازمی‌سازند بدون فروپاشی هیچ اجرای منفرد — واقعاً متفاوت از اندازه‌گیری قوی، و از حدود ۲۰۰۸ به‌طور آزمایشگاهی عادی.
11.7اندازه‌گیری به‌مثابهٔ استخراج اطلاعات
دیدگاه یک‌پارچه: اندازه‌گیری یک کانال با خروجی کلاسیک است — حالت کوانتومی داخل، بیت‌های کلاسیک خارج، با پس‌کنش روی حالت. این چارچوب دو سردرگمی را حل می‌کند. نخست، «مشاهده» ویژه نیست: خواندن صرفاً برهم‌کنشی فیزیکی است که نتیجه‌اش به‌طور برگشت‌ناپذیر در یک سامانهٔ کلاسیک ثبت می‌شود؛ برگشت‌ناپذیریِ رکورد است که آن را اندازه‌گیری می‌کند. دوم، اطلاعات و آشفتگی دو سرِ یک بودجه‌اند: استخراج یک بیت دربارهٔ حالت، حداکثر به همان میزانی که روابط موازنه dictate می‌کنند حالت را آشفته می‌کند. هر معماری این کتاب اطلاعات را همین‌طور عبور می‌دهد — مدارها به اندازه‌گیری ختم می‌شوند، تصحیح خطا سندروم‌ها را بدون دست‌زدن به دادهٔ منطقی استخراج می‌کند (بخش دهم) و سخت‌افزار با درهم‌تنیدن خواندن ضعیف و قوی کالیبره می‌کند. هنگام طراحی آزمایش، نخست بپرسید: چه اطلاعاتی از سامانهٔ کوانتومی بیرون می‌رود و استخراجش چه قیمتی برای حالت دارد؟