12. سیستم‌های کوانتومی مرکب

12.1حالت‌های دوکیوبیتی و فضای حالت چهارسبعدی

موضعیت چهارم می‌گوید سیستم‌های مرکب با حاصل‌ضرب تانسوری ترکیب می‌شوند: حالت دوکیوبیتی در فضای چهارسبعدی ℂ² ⊗ ℂ² زندگی می‌کند، با پایهٔ محاسباتی |00⟩، |01⟩، |10⟩، |11⟩ — یعنی «کیوبیت اول، کیوبیت دوم»، نه عددی دودویی که آزادانه تفسیر کنید. حالت عمومی α|00⟩ + β|01⟩ + γ|10⟩ + δ|11⟩ است با چهار دامنهٔ مختلط و Σ|·|² = 1. در numpy، بردار حالت برای کیوبیت‌های مرتب q0، q1 برابر np.kron(psi_q0, psi_q1) است. به شوک دفترداری توجه کنید: یک کیوبیت اضافه، دامنه‌های ذخیره‌شده را دو برابر می‌کند، درحالی‌که توصیف کلاسیکی دو بیت هنوز دو بیت می‌خواهد. چهار دامنه، چهار بیت اطلاعات نیستند — اندازه‌گیری همچنان جمعاً دو بیت برمی‌گرداند — اما چهار عددی‌اند که شبیه‌ساز شما باید حمل و تحولشان دهد.

12.2فضای حالت n-کیوبیتی و رشد نمایی

تکرار کنید: n کیوبیت، فضای مختلط 2ⁿ-بعدی با 2ⁿ دامنه را می‌سازند. رشد بی‌رحم است و ارزش حس‌کردن عددی دارد: ۱۰ کیوبیت → ۱٬۰۲۴ دامنه (۱۶ کیلوبایت با complex128)؛ ۲۰ → یک میلیون (۱۶ مگابایت)؛ ۲۶ → ۶۷ میلیون (۱ گیگابایت)؛ ۳۰ → ۱۶ گیگابایت؛ ۴۰ → ۱۶ ترابایت؛ ۵۰ → فراتر از هر لپ‌تاپی. این نمایی «ترفند»ی نیست که رایانه‌های کوانتومی می‌زنند — صرفاً اندازهٔ توصیف است و دو دست دارد: دلیل اینکه شبیه‌سازی کلاسیک پس از ~۴۵ کیوبیت کاری در حد ابررایانه است (هرچند روش‌های تانسور-شبکهٔ پیشرفته مدارهای ساخت‌دار را بسیار فراتر می‌برند، بخش چهاردهم)، و همان فضایی است که الگوریتم‌های کوانتومی خرجش می‌کنند. دیوار را در آزمایش حافظهٔ بخش اول حس کردید. از این نقطه، هر الگوریتم با اینکه چگونه در این فضا مانور می‌دهد بدون نوشتنش داوری می‌شود.

n کیوبیت  ->  2^n دامنهٔ مختلط (complex128 = 16 بایت به‌ازای هرکدام)

   10 ->     1,024          16 KB      بدیهی
   20 -> 1,048,576          16 MB      اوکی
   26 -> 67,108,864           1 GB      سقف لپ‌تاپ
   30 -> 1,073,741,824       16 GB      سقف دسکتاپ
   40 -> ~1.1e12             16 TB      خوشه
   50 -> ~1.1e15             16 PB      مرز شبیه‌سازی

12.3حالت‌های جداشدنی

حالت تمیز: حالت جداشدنی (product state) حالتی است که بردارش به |ψ⟩₁ ⊗ |ψ⟩₂ فاکتور می‌شود — هر کیوبیت حالت خودش را دارد. |00⟩ و |+−⟩ = |+⟩⊗|−⟩ و (α|0⟩+β|1⟩)⊗(γ|0⟩+δ|1⟩) همگی جداشدنی‌اند. هر چیزی که برای یک کیوبیت آموختید، به‌ازای-کیوبیت اعمال می‌شود: احتمال‌ها ضرب، دروازه‌ها بلوکی، درهم‌تنیدگی صفر. حالت‌های جداشدنی دقیقاً همان چیزی هم هستند که رایانهٔ کلاسیک ارزان هندل می‌کند: به‌جای 2ⁿ دامنه، n بردار دومؤلفه‌ای ذخیره می‌کنید — هزینهٔ چندجمله‌ای. به همین دلیل مدارهای ساخت‌دار (که حالت را نزدیک فرم جداشدنی یا کم‌همبسته نگه می‌دارند) در مقیاس‌هایی بسیار فراتر از حدود ساده‌لوحانه شبیه‌سازی‌پذیر می‌مانند. پس پرسش جالب، دقیق است: کدام حالت‌ها از این فرم نیستند و چه می‌توانند بکنند؟ آن پرسش، درهم‌تنیدگی است — بخش بعد.

12.4حالت‌های درهم‌تنیده

حالت درهم‌تنیده حالتی چندکیوبیتی است که حتی پس از امتحان هر تجزیه و هر پایه، نمی‌توان آن را به‌صورت حاصل‌ضرب تانسوری نوشت: |ψ⟩ ≠ |φ⟩₁ ⊗ |χ⟩₂ برای هیچ انتخابی. مثال متعارف: (|00⟩ + |11⟩)/√2. هیچ‌یک از کیوبیت‌ها به‌تنهایی اصلاً بردار حالت ندارد — هر یک به‌تنهایی بیشینهٔ تصادفی است (۵۰/۵۰ در هر پایه)، اما نتایج کاملاً همبسته‌اند. این شیءای واقعاً جدید است، نه همبستگی کلاسیک با گام‌های اضافه: هیچ دستور پیش‌توافق‌شدهٔ احتمالی‌ای همهٔ آمارش را بازتولید نمی‌کند (13.3 آن را قضیه می‌کند). پیامد مهندسی: درهم‌تنیدگی منبعی است که هنگام آماده‌سازی کیوبیت‌ها را برگشت‌ناپذیر مصرف می‌کند اما سپس آن‌ها را با همبستگی‌هایی پیوند می‌زند که هیچ کانال کلاسیکی نمی‌دهد. تقریباً هر چیز باارزش این کتاب — دوربری، کدهای تصحیح خطا، حالت‌های شیمی کوانتومی — از حالت‌های غیرجداشدنی ساخته می‌شود.

12.5حالت‌های بل و آماده‌سازی آن‌ها

چهار حالت بل، حالت‌های بیشینه-درهم‌تنیدهٔ دوکیوبیتی‌اند، نام‌گذاری به افتخار جان بل: Φ⁺ = (|00⟩+|11⟩)/√2، Φ⁻ = (|00⟩−|11⟩)/√2، Ψ⁺ = (|01⟩+|10⟩)/√2، Ψ⁻ = (|01⟩−|10⟩)/√2. آن‌ها پایهٔ متعامد-نرمالی از فضای چهارسبعدی می‌سازند — یک «پایهٔ درهم‌تنیده» کامل. آماده‌سازی Φ⁺ دستورپخت دو-دروازه‌ای است که هزار بار خواهید نوشت: H روی کیوبیت ۰، سپس CNOT از کیوبیت ۰ به ۱. ماشینی بخوانیدش: H برهم‌نهی کیوبیت ۰ را می‌سازد؛ CNOT همبستگی را رونوشت می‌کند، نه دامنه را (عدم‌ronوشت زنده می‌ماند). سه حالت بل دیگر با یک Z یا X (یا هر دو) روی یکی از کیوبیت‌ها به‌دست می‌آیند. در نقشه‌های مداری این دستور گرم‌کردن استاندارد است و در سخت‌افزار، نخستین محکی که هر پیوند دوکیوبیتی باید ردش کند.

مدار آماده‌سازی حالت بل:

  q0:  ──H────●──
              │
  q1:  ───────X──

  |00> -> (|00> + |11>)/sqrt(2) = |Phi+>

12.6اندازه‌گیری حالت بل

اندازه‌گیری حالت بل می‌پرسد «در کدام‌یک از چهار حالت بل هستم؟» — فروریختن دو کیوبیت روی پایهٔ بل. با اندازه‌گیری جداگانهٔ هر کیوبیت انجام نمی‌شود (که پایهٔ محاسباتی را می‌خواند و درهم‌تنیدگی را نابود می‌کند)، اما با دروازه‌ها انجام‌پذیر است: CNOT(q0→q1) سپس H روی q0، بعد اندازه‌گیری هر دو در پایهٔ محاسباتی. آن مدار وارونِ مدار آماده‌سازی است، اتفاقی نیست — تغییر پایه‌ها یونیتی است و این یکی، پایهٔ بل را روی پایهٔ محاسباتی می‌برد. دو کاربرد برای نگه‌داشتن: دوربری (13.5) همان اندازه‌گیری بل است که نتیجهٔ کلاسیکش اصلاح را هدایت می‌کند؛ و اندازه‌گیری حالت بل میان فوتون‌ها ابزار کار شبکه‌سازی کوانتومی است (تعویض درهم‌تنیدگی، 13.7). روی سخت‌افزار امروز با اپتیک خطی به‌طور احتمالاتی موفق می‌شود؛ نسخه‌های قطعی به کیوبیت مادی نیاز دارند.

12.7همبستگی‌های کلاسیک در برابر کوانتومی

تمایز را با اعداد تیز کنید، چون قلب مفهومی بخش پنجم است. بیت‌های همبستهٔ کلاسیک: منبعی نصف وقت 00 و نصف وقت 11 تولید می‌کند. نتایج همبسته‌اند، اما هر بیت پیش از نگاه مقدار معینی دارد — تصادفی بودن، نادانی دربارهٔ واقعیت از-پیش-موجود است. Φ⁺ بل برای اندازه‌گیری‌های Z یکسان به‌نظر می‌رسد: 00 و 11 با احتمال برابر. تفاوت با چرخاندن پایهٔ اندازه‌گیری پدیدار می‌شود: اندازه‌گیری هر دو کیوبیت در پایهٔ X هم همبستگی کامل می‌دهد، و همبستگی‌ها روی پایه‌های مختلط (یکی X، یکی Z) از کران‌هایی که هر مدل ارزش‌های-پیش‌توافق‌شده باید رعایت کند فراتر می‌روند (13.4). امضای عددی دستی که همین امشب می‌توانید بسازید: برای Φ⁺، ماتریس همبستگی ⟨σᵢ ⊗ σⱼ⟩ روی محورهای i, j ∈ {x, y, z} برابر diag(1, −1, 1) است — الگویی که هیچ مخلوط کلاسیکی از جهت‌های اسپین معین با آن نمی‌خواند.