30. ماتریس‌های چگالی
30.1حالت‌های خالص از نو
بردار حالت |ψ⟩ بخش سوم بیشینهٔ دانش دربارهٔ یک سامانهٔ جداشده را رمز می‌کند. برای اینکه بتواند تنزل یابد، آن را به یک شیء بازنویسی کنید: ρ = |ψ⟩⟨ψ|، ضرب بیرونی حالت در خودش. ویژگی‌هایش را بررسی کنید: هرمیتی، نیمه‌معین مثبت، ردِ ۱، و در مربع خود ثابت (ρ² = ρ) با رتبهٔ یک. هر پیش‌بینی‌ای که می‌شناسید دست‌نخورده منتقل می‌شود: احتمال نتیجهٔ اندازه‌گیری m برابر Tr(|m⟩⟨m|ρ) = |⟨m|ψ⟩|² است و تحول ρ → UρU†. برای حالت‌های خالص هیچ چیز تغییر نمی‌کند. نکته این است که ρ زبانی بزرگ‌تر است: موقعیت‌هایی را توصیف می‌کند که بردار حالت نمی‌تواند — و نویز دقیقاً همان موقعیت‌هاست.
30.2حالت‌های مخلوط
حالت مخلوط، عدم‌قطعیت کلاسیک است: با احتمال‌های pₖ سامانه در حالت |ψₖ⟩ است و ρ = Σₖ pₖ|ψₖ⟩⟨ψₖ|. تمایز را تیز نگه دارید: α|0⟩ + β|1⟩ یک حالت خالص است که دامنه‌هایش می‌توانند تداخل کنند؛ مخلوط ۵۰/۵۰ از |0⟩ و |1⟩ یعنی ρ = ½(|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|) = I/2 — بیشینهٔ بی‌خبری، بدون فاز، بدون تداخل، هیچ چیز قابل بازیابی. آزمونش خلوص Tr(ρ²) است: فقط و فقط اگر حالت خالص باشد برابر ۱ است و برای I/2 نمره‌اش ½ می‌شود. هم‌دوسی‌زدایی (۲۹.۱) دقیقاً تبدیل حالت‌های خالص به مخلوط است — این فصل همان‌جایی است که آن جمله قابل‌محاسبه می‌شود.
30.3عملگرهای چگالی
سه اصل موضوعه: ρ هرمیتی است (ρ† = ρ)، نیمه‌معین مثبت (⟨φ|ρ|φ⟩ ≥ 0 برای هر |φ⟩) و ردِ واحد دارد. تحول سامانهٔ بسته ρ → UρU† است؛ امید ریاضی هر مشاهده‌پذیر ⟨M⟩ = Tr(Mρ). چرا این شیء حالتی است که واقعاً می‌شود با آن نویز شبیه‌سازی کرد: یک فرایند نویزی ماتریس‌های چگالی معتبر را به ماتریس‌های چگالی معتبر نگاشت می‌کند، و بردار حالت اصلاً نمی‌تواند «نصف هم‌دوسی باقی مانده» را بیان کند — این مفهوم برایش وجود ندارد. بها حافظه است: ρ یک n کیوبیت ماتریسی 2ⁿ×2ⁿ است، پس هزینه مانند 4ⁿ رشد می‌کند. یکی و دو کیوبیت آنی شبیه‌سازی می‌شوند؛ حدود ۱۲ تا ۱۴ کیوبیت لپ‌تاپ را به عذاب می‌اندازد؛ فراتر از آن شبکه‌های تانسوری لازم است (بخش پنجم).
30.4نمایش بلوخ
برای تک‌کیوبیت: ρ = ½(I + x·X + y·Y + z·Z) با بردار بلوخ حقیقی r = (x, y, z). حالت‌های خالص سطح کره‌اند (|r| = 1)، مخلوط‌ها درون کره، و I/2 دقیقاً مرکز. نویز هندسه می‌شود: میرایی دامنه z را به سمت −1 می‌کشد (۲۹.۲)، فاززدایی x و y را به سمت 0 می‌فشارد (۲۹.۳)، وابروندگی کل بردار را به سمت مرکز کوچک می‌کند (۳۱.۴). طول بردار سنجهٔ خلوص است، Tr(ρ²) = ½(1 + |r|²)، پس «این حالت چقدر مخلوط است» می‌شود «این بردار چقدر بلند است» — و آزمایش انتهای همین فصل همان افت را مستقیم پیاده می‌کند.
30.5ماتریس‌های چگالی کاهش‌یافته
برای سامانهٔ مرکب، ماتریس چگالی کاهش‌یافتهٔ ρ_A یعنی «هر آنچه دربارهٔ زیرسامانهٔ A به‌تنهایی مشاهده‌پذیر است». حالت بل (Bell) یعنی (|00⟩ + |11⟩)/√2 را بگیرید: حالت مرکب خالص و کاملاً معلوم است، اما هر کیوبیت به‌تنهایی ρ = I/2 دارد — بیشینهٔ مخلوط. این شکاف میان خلوص مرکب و خلوص زیرسامانه همان درهم‌تنیدگی است، کمی‌شده. هم‌چنین صورت‌بندی صوریِ دقیق هم‌دوسی‌زدایی همین است: سامانه با محیط درهم‌تنیده می‌شود، محیط مشاهده نمی‌شود، پس حالت کاهش‌یافتهٔ سامانه مخلوط است. هیچ‌چیز فرونریخت؛ صرفاً دیگر همبستگی‌ها را ردیابی نمی‌کنید — و همبستگی‌ها دقیقاً چیزی‌اند که حالت کاهش‌یافته دور می‌ریزد.
30.6رد جزئی (partial trace)
مکانیک کار: ρ_A = Tr_B(ρ) که با جمع روی پایهٔ B حساب می‌شود — درایهٔ (i, j) برابر Σₖ ⟨i,k|ρ|j,k⟩. اصطلاح numpy این است که بردار حالت را به تانسوری با یک بُعد اندازهٔ ۲ برای هر کیوبیت reshape کنید، سپس روی شاخص‌های متعلق به B قرارداد (رد) بزنید. یک بار حالت بل را دستی حساب کنید: رد جزئی روی هر کیوبیت I/2 می‌دهد و ۳۰.۵ را تأیید می‌کند. با این عملیات روان شوید — هر شبیه‌سازی نویز، هر محاسبهٔ آنتروپی و هر پرسش «این کیوبیت واقعاً چه می‌داند» از آن می‌گذرد، و پیاده‌سازی درستش روی تانسورِ reshapeشده آیین گذاری است که یک ساعت تمرکز می‌خواهد.
30.7آنتروپی
آنتروپی فون نویمان (von Neumann) ρ برابر S(ρ) = −Tr(ρ log₂ ρ) = −Σₖ λₖ log₂ λₖ است، روی مقدارهای ویژهٔ λₖ. حالت خالص S = 0 دارد — یک مقدار ویژهٔ ۱ و بقیه ۰ — صرف‌نظر از اینکه بردار حالت چقدر پیچیده به نظر می‌رسد. حالت بیشینهٔ مخلوطِ n کیوبیت S = n بیت دارد، بیشینه. با log₂ یکا بیت است و تعمیم کوانتومی دقیق است: برای ρ قطری، همان آنتروپی شانونِ درایه‌های قطری است. آنتروپی به «چقدر اطلاعات دربارهٔ حالت واقعی گم شده» پاسخ می‌دهد — صفر برای حالت‌های خالص، هرچقدر هم پیچیده؛ n برای بی‌خبری کامل.
30.8آنتروپی فون نویمان
حالا ببینید چه می‌خرد. سنجهٔ درهم‌تنیدگی: برای حالت مرکب خالص، S(ρ_A) می‌سنجد A چقدر با بقیه درهم‌تنیده است، و مستقل از پایه است — ویژگی خودِ حالت، نه توصیفش. ترمودینامیک: حالت‌های گرمایی (گیبس) دقیقاً حالت‌هایی‌اند که در انرژی ثابت، S را کمینه می‌کنند، و نویز S را زیاد می‌کند — قانون دوم به‌عنوان گزاره‌ای دربارهٔ کانال‌ها دوباره ظاهر می‌شود (۳۱.۹). عمل: حساب S مقدارهای ویژه می‌خواهد، عملیاتی از مرتبهٔ O(d³)؛ پس شبیه‌سازها اغلب جایگزین ارزانِ آن یعنی خلوص Tr(ρ²) را ردیابی می‌کنند. قلاب پژوهشی: رشد سریع آنتروپی درهم‌تنیدگی زیر دینامیک عام دقیقاً همان چیزی است که سامانه‌های بزرگ کوانتومی را برای شبیه‌سازی کلاسیک ناامیدکننده می‌کند — آنتروپی مرزِ شبیه‌سازی‌پذیری است.