مهندس کوانتومی›نویز: رایانهٔ واقعی›فصل 31

31. کانال‌های کوانتومی

پنج سطح این فصل

شهود — کانال، عام‌ترین گامِ نویزِ فیزیکی و مجاز است: ماشینی که یک ماتریس چگالی می‌خورد و یکی تحویل می‌دهد، در هر گام زمانیِ هر دستگاه واقعی.
ریاضیات — نگاشت‌های کاملاً مثبتِ حافظ رد (completely positive trace-preserving)؛ صورت کراوس Σₖ KₖρKₖ† با قید Σₖ Kₖ†Kₖ = I.
پیاده‌سازی — کانال‌های وابرونده، پرش بیت، پرش فاز و میرایی دامنه را مستقیم در numpy پیاده کنید.
مهندسی — مدل‌های نویزِ فروشندگان کتابخانه‌هایی از کانال‌هاست؛ ترکیبشان به‌ازای هر گیت، مدل نویزِ تمام‌مدار می‌سازد.
پژوهش — کانال‌های مارکوفی نویزِ بی‌حافظه و بی‌همبستگی فرض می‌کنند؛ دستگاه‌های واقعی حافظه دارند و همبسته‌اند — مدل‌سازی صادقانه‌اش باز است.

31.1نگاشت‌های کاملاً مثبت

کدام دگرگونی‌های ماتریس چگالی از نظر فیزیکی ممکن‌اند؟ خروجی برای هر ورودی معتبر باید ماتریس چگالی معتبری باشد — اما مثبت‌بودن به‌تنهایی کافی نیست. نگاشت‌هایی وجود دارند که هر ماتریس چگالی را به چیز معتبری نگاشت می‌کنند، اما وقتی روی نیمی از یک زوج درهم‌تنیده اعمال شوند حالتی ناممکن و منفی تحویل می‌دهند. مثبت‌بودن کامل (complete positivity) این حفره را می‌بندد: نگاشت باید حتی وقتی روی هر سامانهٔ کمکی با همانی (identity) تانسور می‌شود مثبت بماند. مثال کلاسیکِ غیرفیزیکی، نگاشت ترانهاده است — مثبت، اما کاملاً مثبت نه، و اگر مجاز بود معادل ارسال سیگنال از راه درهم‌تنیدگی می‌شد. مثبت‌بودن کامل ریاضیاتِ «نویز پیاده‌سازی‌شدنی» است و هر مدل نویز سخت‌افزاری باید از این آزمون بگذرد.

31.2پایستگی رد (trace preservation)

کانال باید احتمال را پایسته کند: Tr(E(ρ)) = Tr(ρ) برای هر ρ — هیچ‌چیز بی‌سروصدا دور ریخته نمی‌شود، پس‌گزینی پایش‌نشده‌ای در کار نیست. در صورت کراوس این به یک قید جبری می‌شود، Σₖ Kₖ†Kₖ = I، که باید روی هر کانال پایین آن را راستی‌آزمایی کنید. اگر به Tr(E(ρ)) ≤ 1 آرامش دهید، کلاس وسیع‌تر عملیات با پس‌گزینی (postselection) به دست می‌آید — صورت ریاضیِ «اندازه بگیر و فقط اجراهای خوب را نگه دار» که طرح‌های heralded از آن بهره می‌برند (۴۲.۵). تصویر سازمان‌دهنده: هر گیت حالت خاصِ کانال یکانی ρ → UρU† است، که بی‌درنگ کاملاً مثبت و حافظ رد است؛ نویز هر نگاشت دیگری در همین کلاس است.

31.3عملگرهای کراوس (Kraus)

فرمول مرکزی این فصل: E(ρ) = Σₖ Kₖ ρ Kₖ† با Σₖ Kₖ†Kₖ = I. آن را بانک خطا بخوانید: شاخهٔ k با احتمال pₖ = Tr(KₖρKₖ†) رخ می‌دهد و حالت شرطیِ KₖρKₖ†/pₖ را باقی می‌گذارد. روی d بُعد، d² عملگر همیشه کافی است — هر نگاشت کاملاً مثبتِ حافظ رد به همین صورت درمی‌آید. بازنمایی یکتا نیست: مجموعه‌عملگرهای متفاوت می‌توانند کانال یکسانی تعریف کنند، پس کانال — نه عملگرها — شیء فیزیکی است؛ عملگرها مختصات‌اند. شبیه‌سازی سه خط است: حلقه روی عملگرهای کراوس، قرارداد، جمع. آزمایش‌های همین فصل دقیقاً همان حلقه‌اند که برای هر فرایند نویز استاندارد نمونه‌سازی شده‌اند.

31.4کانال‌های وابرونده (depolarizing)

با احتمال p حالت را با حالت بیشینهٔ مخلوط I/2 جایگزین کنید؛ با احتمال 1 − p دست نزنید. عملگرهای کراوس: K₀ = √(1 − 3p/4)·I و K₁، K₂، K₃ برابر √(p/4)·X، √(p/4)·Y، √(p/4)·Z. روی تصویر بلوخ اثر r → (1 − p)·r است: انقباض یکنواخت به سمت مرکز، همهٔ جهت‌ها برابر. این پیش‌فرضِ «نویز عامِ» هر شبیه‌ساز است — یک پارامتر، متقارن، و در هر پایه‌ای اطلاعات‌ویران — و هشدار صادقانه این است که دستگاه‌های واقعی *نامتقارن*‌اند. آزمایش زیر کانال را به دو روش می‌سازد، با مخلوط‌کردن ماتریس‌های چگالی و با عملگرهای کراوس، و تأیید می‌کند که دقیقاً با هم می‌خوانند.

روی لپ‌تاپ شما — کانال وابرونده به دو روش

کانال وابرونده را هم با مخلوط‌کردن ماتریس‌های چگالی و هم با اعمال عملگرهای کراوس بسازید؛ نتیجه‌ها باید یکی باشند. مخلوط‌کردن تعریف است، کراوس ابزار کارِ شبیه‌سازی.

import numpy as np

I = np.eye(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]])
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)

rho = np.array([[0.5, 0.5], [0.5, 0.5]])   # |+><+|
p = 0.3

# روش ۱: با احتمال p، جای rho را با حالت بیشینهٔ مخلوط بگیر
rho_mix = (1 - p) * rho + p * I / 2

# روش ۲: عملگرهای کراوس K0 = sqrt(1-3p/4) I و K1..3 = sqrt(p/4) X, Y, Z
K = [np.sqrt(1 - 3*p/4) * I,
     np.sqrt(p/4) * X, np.sqrt(p/4) * Y, np.sqrt(p/4) * Z]
rho_kraus = sum(Ki @ rho @ Ki.conj().T for Ki in K)

print("mixing:", np.round(rho_mix.ravel().real, 10))
print("kraus: ", np.round(rho_kraus.ravel().real, 10))
print("match:", np.allclose(rho_mix, rho_kraus))

سپس ادعای بلوخیِ ۳۱.۴ را راستی‌آزمایی کنید: هر دو را روی |0⟩ اعمال کنید و ببینید بردار با ضریب 1 − p جمع می‌شود.

31.5کانال‌های پرش بیت (bit-flip)

با احتمال p اعمال X کنید؛ در غیر این صورت همانی. عملگرهای کراوس: K₀ = √(1 − p)·I و K₁ = √p·X؛ کانال ρ → (1 − p)ρ + p·XρX. روی کرهٔ بلوخ: مؤلفهٔ x دست‌نخورده می‌ماند، در حالی که y و z با (1 − 2p) مقیاس می‌شوند — کره به سمت محور x جمع می‌شود. نزدیک‌ترین همتای کوانتومیِ خرابی کلاسیک بیت است و کانالی که کد سه‌کیوبیتیِ پرش بیتِ بخش دهم برای اصلاحش طراحی شد. واقعیت‌سنجی: سخت‌افزار پرش بیت خالص تولید نمی‌کند — نویز واقعی به وابروندگی به‌علاوهٔ میرایی دامنه نزدیک‌تر است — و دقیقاً به همین دلیل تحلیل‌های تمیزِ کدها در بخش دهم به نظریهٔ عمومیِ کانالی که همین‌جا می‌سازید نیاز دارد.

31.6کانال‌های پرش فاز (phase-flip)

با احتمال p اعمال Z: ρ → (1 − p)ρ + p·ZρZ، با عملگرهای کراوس K₀ = √(1 − p)·I و K₁ = √p·Z. تصویر بلوخ: z دست‌نخورده، x و y با (1 − 2p) مقیاس می‌شوند. دو اتحاد این کانال را مهم می‌کنند. نخست، این کانال همان کانال پرش بیت در پایهٔ چرخیده است: چون H·X·H = Z، قراردادن حالت‌ها و عملگرها در دل هادامارد یکی را به دیگری تبدیل می‌کند — دلیل اینکه کد سه‌کیوبیتیِ پرش فاز در بخش دهم فقط کد پرش بیت با گیت‌های H است. دوم، حد زمان-پیوسته‌اش فاززدایی خالص است (۲۹.۳): بسیاری لگد فازِ کوچک و تصادفی به‌جای پرش‌های گسستهٔ کم‌تعداد، با نرخ Tφ.

31.7میرایی دامنه (amplitude damping)

کانالِ T1 (۲۹.۲) که در پایهٔ {|0⟩، |1⟩} به‌صورت K₀ با قطر (1، √(1 − γ)) نوشته می‌شود و K₁ دامنهٔ |1⟩ را برمی‌دارد و به |0⟩ می‌برد، با γ = 1 − exp(−t/T1) یعنی احتمال افت در طول t. حالت |1⟩ را با احتمال γ به |0⟩ می‌برد — برگشت‌ناپذیر، پس غیر-یونیتال (non-unital): E(I) ≠ I، همانی نقطهٔ ثابت نیست چون کانال کیوبیت را به سمت |0⟩ سرد می‌کند. حساب بلوخ: z → (1 − γ)z − γ و x، y → √(1 − γ)·(x, y). روی سخت‌افزار ابررسانا این غالب‌ترین کانال برگشت‌ناپذیر است؛ آزمایش آن را اعمال می‌کند و منحنی نماییِ T1 را بازمی‌سازد.

روی لپ‌تاپ شما — افت T1 با میرایی دامنه

کیوبیت را در |1⟩ بگذارید و کانال میرایی دامنه را برای زمان‌های فزاینده با T1 = ۱۰۰ میکروثانیه اعمال کنید. جمعیت برانگیخته باید نماییِ 1 − exp(−t/T1) را دنبال کند.

import numpy as np

def amplitude_damping(rho, gamma):
    K0 = np.array([[1, 0], [0, np.sqrt(1 - gamma)]], dtype=complex)
    K1 = np.array([[0, np.sqrt(gamma)], [0, 0]], dtype=complex)
    return K0 @ rho @ K0.conj().T + K1 @ rho @ K1.conj().T

ket1 = np.array([0, 1], dtype=complex)
rho = np.outer(ket1, ket1.conj())          # شروع از |1>

for t_us in (0, 50, 100, 200, 400):
    gamma = 1 - np.exp(-t_us / 100)        # T1 = ۱۰۰ میکروثانیه
    d = amplitude_damping(rho, gamma)
    print(f"t = {t_us:3d} µs   P(|0>) = {d[0,0].real:.3f}   P(|1>) = {d[1,1].real:.3f}")

در t = T1 = ۱۰۰ میکروثانیه باید P(|0>) حدود ۰٫۶۳۲ را ببینید. بعد به آن |+⟩ بدهید و تأیید کنید هر دو جمعیت حرکت می‌کنند در حالی که هم‌دوسی با ضریب √(1 − γ) آب می‌شود.

31.8میرایی فاز (phase damping)

افت هم‌دوسیِ نگه‌دارندهٔ انرژی: جمعیت‌ها دست‌نخورده، درون‌قطری‌ها در ضریب افت ضرب می‌شوند. یک زوج کراوس: K₀ = diag(1, √(1 − λ)) و K₁ = diag(0, √λ)؛ در طول t درون‌قطری‌ها ضریب exp(−t/T2) می‌گیرند. از کانال پرش فاز (۳۱.۶) دقیق تمایزش دهید: پرش‌های فاز رخدادهای گسستهٔ کم‌تعدادند؛ میرایی فاز گشت تصادفیِ پیوستهٔ فاز کیوبیت است — تصویر فیزیکیِ لرزیدن فرکانس گذار زیر نویز کم‌فرکانس. میرایی دامنه (۳۱.۷) و میرایی فاز را ترکیب کنید و هر دو ساعت افت مستقل سخت‌افزار، یعنی T1 و T2، را دارید: کامل‌ترین مدل نویزِ تک‌کیوبیتیِ کمینه که اعداد فصل ۲۹ توصیفش می‌کنند.

31.9ترکیب کانال‌ها

مدل‌های نویز بزرگ را از تکه‌های کوچک بسازید. ترکیب ترتیبی E₂∘E₁ (اول E₁، بعد E₂) به‌عنوان مجموعهٔ کراوس، همهٔ حاصل‌ضرب‌های یک عملگر کانال دوم راست‌ضربِ یک عملگر کانال اول را دارد. ترکیب موازی روی کیوبیت‌های مجزا، مجموعه‌های عملگر را تانسور-ضرب می‌کند. مدل نویزِ تمام‌مدار دقیقاً همین است: بعد از هر گیت، کانال همان گیت را درج کنید، همه به ترتیب مدار ترکیب‌شده. در زمان پیوسته، خانوادهٔ کانال‌ها نیم‌گروهی است، E(t) = exp(tL)، که مولدش L لیندبلادیان (Lindbladian) است — معادله‌ای که شبیه‌سازهای فیزیکیِ دستگاه پشتش است. و توجه کنید ترکیب چه چیزی را پایسته نگه می‌دارد: حالت ماتریس چگالی می‌ماند، پس نویز در هر گام بازنمایی‌شدنی می‌ماند — چیزی که شبیه‌سازی بردار-حالت از نظر ساختاری نمی‌تواند ارائه دهد.

مرز پژوهش

کانال‌های این فصل مارکوفی‌اند: بی‌حافظه، لحظه‌ای و مستقل میان کیوبیت‌ها. دستگاه‌های واقعی هر سه را نقض می‌کنند — نویز 1/f حافظهٔ بلند دارد، پیک‌های پرتو کیهانی نواحی کامل تراشه را به‌صورت هم‌دوس خراب می‌کنند (۲۹.۱۰)، و کراس‌تاک پیوسته کیوبیت‌ها را همبسته نگه می‌دارد. ساختن مدل‌های نویزِ غیرمارکوفی و همبستهٔ صادقانه حوزه‌ای پژوهشی و فعال است، چون آستانه‌های تصحیح خطا و طراحی رمزگشا به ساختار خطای فرض‌شده حساس‌اند (بخش دهم). نقطهٔ ورودِ در دسترس از لپ‌تاپ: صفحات کالیبراسیون فروشندگان نرخ خطای روزانهٔ هر کیوبیت را منتشر می‌کنند — بسنجید مدل بی‌حافظه از آن داده چقدر فاصله می‌گیرد و یک مدل رانش ساده چه چیزهایی را بازیابی می‌کند.