مهندس کوانتومی›تصحیح خطای کوانتومی›فصل 34

34. صورت‌بندی پایدارساز (stabilizer formalism)

پنج سطح این فصل

شهود — یک کد کوانتومی یک باشگاه است: پایدارسازها آزمون‌های عضویت‌اند و خطاها چیزهایی که دقیقاً در همین آزمون‌ها رد می‌شوند.
ریاضیات — زیرگروه‌های پائولیِ جابه‌جاپذیر فضاهای کد را تعریف می‌کنند؛ تمام نظریه، جبر خطی روی بردارهای دودویی ۲×۲ است.
پیاده‌سازی — یک رشتهٔ پائولی دو بردار بیتی است؛ جابه‌جایی یک ضرب داخلی به پیمانهٔ ۲ است.
مهندسی — این همان نمایشی است که داخل هر شبیه‌ساز پایدارساز و هر فریمور رمزگشای بلادرنگ اجرا می‌شود.
پژوهش — نویز فراتر از پائولی، نشتی و خطاهای همدوس همه پیش‌فرض‌های این صورت‌بندی را می‌شکنند؛ کمّی‌کردن آن باز است.

34.1گروه پائولی

گروه پائولی (Pauli group) n کیوبیتی P_n مجموعهٔ همهٔ ضرب‌های تانسوری I، X، Y، Z با فازهای کلی ±1 و ±i است، که Y = iXZ. این گروه زبان درست خطاهاست به سه دلیل. نخست، کامل‌بودن: هر ماتریس ۲×۲ ترکیب خطی مختلطی از I، X، Y، Z است، پس تصحیح مجموعهٔ گسستهٔ خطاهای پائولی هر خطایی را تصحیح می‌کند — استدلال خطیِ ۳۳.۳ در قالب دقیق. دوم، اندازه‌گیری‌پذیری: پائولی‌ها (با هستهٔ هرمیتی I، X، Y، Z) مشاهده‌پذیرند. سوم، ساختار: گروه تحت ضرب تا فاز بسته است و هر دو عنصر یا جابه‌جا می‌شوند یا پادجابه‌جا — گزینهٔ سومی نیست. گروه پائولی تصحیح خطا را به نظریهٔ گروهِ متناهی بدل می‌کند؛ یعنی به چیزی که می‌توان برنامه‌نویسی کرد.

34.2جابه‌جایی

دو رشتهٔ پائولی اگر و تنها اگر در تعداد زوجی موضع — که در آن‌ها هر دو نا-همانند و پادجابه‌جا باشند (X در برابر Z، X در برابر Y، Y در برابر Z) — اختلاف داشته باشند، جابه‌جایند. فرم محاسباتی: رشتهٔ پائولی را به‌صورت زوج بردار بیت (x, z) ∈ F₂^{2n} نمایش دهید، به‌معنای X^x Z^z به‌ازای هر کیوبیت. آنگاه P = (x, z) و Q = (x′, z′) دقیقاً وقتی جابه‌جایند که x·z′ + z·x′ ≡ 0 (mod 2). این نمایش باینری سمپلکتیک همان چیزی است که شبیه‌سازهای پایدارساز (۳۷.۹) و فریمور رمزگشاها واقعاً ذخیره و دست‌کاری می‌کنند — جبر پائولی n کیوبیتی به حساب بیتی بدل می‌شود. در این کتاب رشته‌های پائولی را به‌صورت code span می‌نویسیم مثل Z0 Z1 تا بی‌ابهام بمانند.

روی لپ‌تاپ شما — جبر پائولی در ۱۵ خط

جابه‌جایی، پایدارسازها و عملگرهای منطقی، همه فشرده به ضرب‌های داخلی بردار بیت.

import numpy as np

def pauli(x_bits, z_bits):        # رشتهٔ پائولی: X^x Z^z به‌ازای هر کیوبیت
    return (np.array(x_bits), np.array(z_bits))

def commutes(p, q):               # جابه‌جایی به شرط زوج‌بودن x1.z2 + z1.x2
    (x1, z1), (x2, z2) = p, q
    return (x1 @ z2 + z1 @ x2) % 2 == 0

n = 3
Z01 = pauli([0, 0, 0], [1, 1, 0])   # پایدارساز Z0 Z1
Z12 = pauli([0, 0, 0], [0, 1, 1])   # پایدارساز Z1 Z2
Xbar = pauli([1, 1, 1], [0, 0, 0])  # X منطقی کد وارونگی بیت
X0 = pauli([1, 0, 0], [0, 0, 0])    # خطای تک‌کیوبیتی

print([commutes(Z01, g) for g in (Z12, Xbar, X0)])   # [True, True, False]

پایدارسازها با هم و با عملگرهای منطقی جابه‌جایند؛ خطاها با برخی مولدها پادجابه‌جایند — همین عدم‌تقارن خودِ کد است.

34.3پایدارسازها

یک پایدارساز (stabilizer) زیرگروهی آبلی از P_n است که −I را شامل نمی‌شود و با r مولد مستقلِ جابه‌جاپذیر مشخص می‌شود. فضای کد فضای ویژهٔ مشترک +1 همهٔ مولدهاست، با بُعد 2^(n−r)، و k = n − r کیوبیت منطقی کدگذاری می‌کند. کد وارونگی بیت: S = ⟨Z0 Z1، Z1 Z2⟩، پس n = 3، r = 2، k = 1. خطاها با الحاق عمل می‌کنند: اگر E با برخی مولدها پادجابه‌جا باشد، E|ψ⟩ فضای کد را ترک می‌کند و مولد نقض‌شده اطلاعات مکانی خطا را می‌دهد. تمام کد — کدگذاری‌اش، قدرت تصحیحش، گیت‌هایش — چیزی نیست جز انتخاب S. این فشرده‌سازی، هدیهٔ صورت‌بندی پایدارساز به مهندسان است: کدها ساختار داده می‌شوند.

34.4حالت‌های پایدارساز

حالت k = 0 ارزش بخش مستقل را دارد: حالت پایدارساز (stabilizer state) تنها مقدار ویژهٔ +1 یک پایدارساز بیشینه است — |000⟩ (با S = ⟨Z0، Z1، Z2⟩)، |+⟩^⊗n (همه X)، و هرچه فقط با گیت‌های کلیفورد (H، S، CNOT) از |0…0⟩ ساخته‌شدنی باشد. قضیهٔ گودسن–نیل (Gottesman–Knill) می‌گوید مدارهایی که فقط از کلیفوردها، اندازه‌گیری‌های پائولی و تصحیح‌های پائولی ساخته شده‌اند در زمان چندجمله‌ای به‌صورت کلاسیک شبیه‌سازی می‌شوند — فارغ از این‌که چقدر درهم‌تنیده می‌شوند. دو پیامد. درهم‌تنیدگی به‌تنهایی توان محاسباتی نیست. و دلیل این‌که تمام خط لولهٔ QEC روی شبیه‌سازهای پایدارساز (۳۷.۹) اجرا می‌شود نه بردارهای حالت کامل، دقیقاً این است که خودِ تصحیح خطا فرایندی فقط-کلیفوردی است.

34.5اندازه‌گیری‌های پایدارساز

اندازه‌گیری مولد پائولی g یک اندازه‌گیری تصویری با نتایج ±1 و تصویرگرهای (projector) (I ± g)/2 است. روی فضای کدِ معتبر، هر مولد طبق ساخت +1 برمی‌گرداند — این یعنی «بودن در کد». بعد از خطای E، هر مولدی که با E پادجابه‌جا باشد −1 برمی‌گرداند؛ الگوی ±1 حاصل همان سندروم ۳۲.۶ به‌صورت تعمیم‌یافته است. دو ویژگی مهم است. اندازه‌گیری g فقط یک بیت دربارهٔ این‌که کدام خطا رخ داده می‌دهد، هرگز دامنه‌های کدشده را نه — این اندازه‌گیری با اطلاعات منطقی جابه‌جا است. و یک دور اندازه‌گیری r مولد فقط r بیت می‌دهد، پس کدی با n کیوبیت فیزیکی نمایی کمتر از خود حالت دادهٔ سندروم تولید می‌کند: همین فشرده‌سازی است که رمزگشایی بلادرنگ را اصلاً قابل تصور می‌کند.

34.6استخراج سندروم

سخت‌افزار کیوبیت‌های تکی را می‌خواند نه پائولی‌های چهارکیوبیتی را، پس مولدها با یک کیوبیت کمکی (ancilla) اندازه‌گیری می‌شوند. برای مولد Z-نوع: کیوبیت کمکی را در |0⟩ آماده کنید، CNOT از هر کیوبیت داده (کنترل‌ها) به کمکی اعمال کنید، کمکی را بسنجید — مقدارش پاریتی مقدارهای ویژهٔ Z است. برای مولد X-نوع، همان بادبزن را با H روی کمکی مقترن کنید. کیوبیت‌های داده هرگز مستقیم اندازه‌گیری نمی‌شوند؛ برهم‌نهی‌شان جان سالم به‌در می‌برد. ظرافت‌ها مهندسی‌اند نه ریاضی: ترتیب چهار CNOT تعیین می‌کند یک خطای کمکی واحد چگونه پخش شود (۳۶.۴)؛ خود اندازه‌گیری نویزی است، پس دورها تکرار می‌شوند (۳۷.۱)؛ و هر دور در برابر هم‌دوسی‌زدایی زمان می‌سوزاند. مدارهای استخراج سندروم، درونی‌ترین حلقهٔ رایانهٔ تحمل‌پذیر خطا هستند.

34.7عملگرهای منطقی

نرمال‌ساز N(S) — رشته‌های پائولی که با هر مولد جابه‌جایند — شامل S است و مهم‌تر، بیش از آن: رشته‌هایی که به‌طور نا-بدیهی روی فضای کد عمل می‌کنند. این‌ها عملگرهای منطقی‌اند. X̄ و Z̄ منطقی به‌ازای هر کیوبیت کدشده یک زوج پادجابه‌جا می‌سازند؛ ضرب‌شان در پایدارسازها نمایش‌های هم‌ارز می‌دهد. فاصلهٔ کد (code distance) d کمینه‌وزن (تعداد عامل‌های نا-همانند) هر عنصر N(S) \ S است: ارزان‌ترین عملگری که مثل گیت منطقی عمل می‌کند ولی برای سندروم مثل هیچ خطایی به نظر می‌رسد. برابر است با تعداد خطاهایی که کد تصحیح می‌کند (⌊(d−1)/2⌋). طراحی کد اکنون یک بهینه‌سازی دقیق است: بیشینه‌کردن d به‌ازای هر کیوبیت فیزیکی، در حالی که مولدها محلی می‌مانند.