6. احتمال و آمار
6.1احتمال کلاسیک
زبان پایه: فضای نمونه Ω (همهٔ نتایج ممکن)، رخدادها (زیرمجموعه‌ها)، احتمال P با اصول نامنفی بودن، نرمال‌شدن (P(Ω)=1) و جمع‌شدگی برای رخدادهای مجزا. برای محاسبات کوانتومی، فضای نمونه گسسته است: رشته‌های بیتی نتیجهٔ اندازه‌گیری، Ω = {0,1}ⁿ با 2ⁿ عضو؛ توزیع نتیجهٔ مدار، pᵢ = |αᵢ|² است — یک توزیع احتمال کاملاً کلاسیک روی پایه‌ای نمایی-بزرگ. تفاوت کوانتومی در منشأ توزیع است (دامنه‌های مختلط با تداخل) نه در ریاضیاتش پس از تولید — و به همین دلیل، همهٔ ابزارهای این فصل بی‌تغییر به‌کار می‌آیند. قاعدهٔ جمع و قاعدهٔ ضرب (P(A∩B) = P(A)P(B|A)) زنجیرهٔ استدلال احتمالی شما هستند.
6.2متغیرهای تصادفی
متغیر تصادفی X، تابعی از فضای نمونه به اعداد است — «عددسازی از نتیجهٔ تصادفی». در آزمایش کوانتومی، X ها همه‌جایند: بیت نتیجهٔ اندازه‌گیری (برنولی)، شمار ۱ها در رشتهٔ نتیجه (دوجمله‌ای)، انرژی برآوردشده از میانگین شات‌ها، فیدیلیتی برآوردشده. توزیع X یعنی احتمال هر مقدارش. توصیف کافی برای اغلب کارها: امید و واریانس (بخش‌های بعد) — دو عدد به‌جای کل توزیع. تلهٔ رایج مهندسی: خلط «متغیر تصادفی» با «یک نمونهٔ آن» — X ≠ x؛ نمونهٔ‌ای که این بار کشیدید، یکی از نتایج ممکن است، نه تعریف فرایند. در شبیه‌سازی، رابطه‌تان با X از راه نمونه‌گیر numpy است (rng.choice) و با توزیعش از راه فرمول — تمایزشان را در کد صریح نگه دارید (تابع توزیع جدا از تابع نمونه‌گیری).
6.3توزیع‌های احتمال
توزیع، فهرست احتمال‌ها روی نتایج است (گسسته) یا چگالی (پیوسته). خانواده‌های مورد نیاز شما: برنولی (یک بیت)؛ دو جمله‌ای (شمار موفقیت در n آزمایش مستقل — توزیع شمار ۱های نتیجهٔ شات‌ها)؛ چندجمله‌ای (تعمیم به چند نتیجه — توزیع کامل هیستوگرام شات‌ها)؛ هندسی و نمایی (زمان تا نخستین موفقیت/میرش)؛ گاوسی/نرمال (حد حدمرکزی — تقریب عالی برای مجموع‌های زیاد)؛ پواسون (شمارش رویداد نادر — شمارش تاریک آشکارساز، فصل ۶۵). در numpy: rng.binomial، rng.multinomial، rng.normal، rng.poisson — همه با seed. قاعدهٔ مهندسی: قبل از شبیه‌سازی، توزیع موردانتظار را روی کاغذ پیش‌بینی کنید؛ ناسازگاری نمودار با پیش‌بینی، اولین علامت باگ است نه کشف فیزیک.
6.4امید ریاضی
میانگین بلندمدت: E[X] = Σ x·P(X=x) (گسسته). خواص کاربردی: خطی بودن (E[aX+bY] = aE[X]+bE[Y] — بدون استقلال!)؛ E[c] = c؛ و برای حاصل‌ضرب، استقلال لازم است (E[XY] = E[X]E[Y] فقط اگر مستقل باشند). در مکانیک کوانتومی، مقدار انتظاری ⟨ψ|A|ψ⟩ همان امید ریاضی نتیجهٔ اندازه‌گیری A روی ψ است — پل میان فرمالیسم و آمار: میانگین بی‌نهایت شات. برآورد عددی: میانگین نمونه‌ای x̄ = (1/N)Σxᵢ، برآوردگری نااریب برای E[X] با خطای استاندارد σ/√N (بخش 6.10). در آزمایش‌های شت-محور، تقریباً هر چیزی که گزارش می‌کنید — فیدیلیتی، انرژی، احتمال — یک x̄ است؛ عادت مادام‌العمر: هر میانگین را با N و خطایش گزارش کنید.
6.5واریانس
پراکنندگی حول میانگین: Var(X) = E[(X−E[X])²] = E[X²] − E[X]². انحراف معیار σ = √Var، با واحد اصلی X. خواص: Var(aX+b) = a²Var(X)؛ برای مستقل‌ها Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y) (جمع واریانس‌ها — پایهٔ «کاهش نویز با میانگین‌گیری»). در آزمایش کوانتومی، واریانس دو منشأ دارد: پراکنندگی ذاتی نتیجهٔ کوانتومی (Bir برای برآورد p، Var = p(1−p) — حتی با اجرای بی‌نقص ماشین) و نویز اضافی سخت‌افزار — تفکیک این دو، هنر تحلیل نتایج خام است (فصل ۳۱). برآورد عددی واریانس نمونه‌ای np.var(x, ddof=1) — ddof=1 برای برآوردگری نااریب؛ ddof=0 باگ خاموش مقایسه‌های کوچک-نمونه است.
6.6احتمال شرطی
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) — احتمال A وقتی B را می‌دانید. کلید بازنویسی اطلاعات جدید: به‌روزرسانی باوری که داشتید. در محاسبات کوانتومی، احتمال شرطی همه‌جاست: پس از دیدن نتیجهٔ کیوبیت اول، توزیع باقی (فروپاشیِ شرطی‌سازی — فصل ۱۱)؛ در رمزگشایی QEC، احتمال خطا مشروط به سندروم دیده‌شده (فصل ۳۶)؛ در BB84، کلید مشروط به باقی‌ماندن بیتهای پایه-سازگار (51.6). استقلال: A و B مستقل‌اند اگر P(A|B) = P(A) — و استقلال، مفروضیه‌ای است که در سیستم‌های فیزیکی معمولاً نادرست است (خطاهای همبسته، فصل ۳۴) — هر جا فرضش کردید، در دفتر آزمایش یادداشت کنید چون قابل‌الشک است.
6.7استدلال بیزی
قاعدهٔ بیز: P(H|E) ∝ P(E|H)·P(H) — باور پسین، فراوانی‌سنجی داده زیر فرضیه، وزن‌دار با باور پیشین. دوری از دو خطای متقارن: فراموشی پیشین (هر داده کوچکی «کشف» می‌شود) و چسبیدن به پیشین (هیچ داده‌ای ذهن را عوض نمی‌کند). در محاسبات کوانتومی، رمزگشاهای QEC خودشان ماشین بیز هستند: باور خطا را با هر سندروم تازه به‌روز می‌کنند (فصل ۳۶)؛ کالیبراسیون، به‌روزرسانی بیزی پارامترهای دستگاه با هر راند اندازه‌گیری است؛ و تحلیل بایاس نتایج (آیا اثر واقعی است یا خطای سیستماتیک؟) استدلال بیزی صریح است. عملی: در گزارش آزمایش، پیشین‌های ضمنی‌تان را بنویسید («انتظار داشتیم X چون...») — شفاف‌سازی پیشین، نیمی از صداقت علمی است.
6.8نمونه‌گیری
از توزیع، عدد بکشید: x ~ p. در numpy: rng = np.random.default_rng(seed)، سپس rng.choice(outcomes, p=probs) برای گسسته، خانوادهٔ rng.<family> برای پارامتری. دو سطح معنایی: نمونه‌گیری از توزیع شناخته‌شده (تولید داده برای تست) و برآورد توزیع ناشناخته از نمونه‌ها (کل آمار). در آزمایش کوانتومی: اجرای مدار، نمونه‌گیری از توزیعِ |دامنه|² است (شبیه‌ساز شما هر دو را دارد — توزیع دقیق و نمونه‌گیر)؛ تکرار N شات، مجموعه‌نامهٔ اندازهٔ N است. قواعد ضرب‌شدگی: هر نمونه‌گیری با seed خودش، صریح پاس‌شده؛ نمونه‌های «تقریبی یکسان» (seed مشترک) در تست‌های آماری مستقل، خطای روش‌شناختی خاموش است — بذرها را طراحی کنید، نه بگذارید اتفاقی بیفتند.
6.9برآوردگرها
برآوردگر، تابعی از نمونه‌ها به تخمین پارامتر است: x̄ برای E[X]؛ s² برای σ²؛ فراوانی نسبی برای p. معیارها: نااریبی (امید برآوردگر = مقدار واقعی — x̄ دارد؛ s² با مخرج N فقط با ddof=1 دارد)، همگرایی (N→∞ ⇒ تخمین→حقیقت) و کارایی (واریانس کمتر). انتخاب برآوردگر، طراحی است نه رسمیت: برای p در حضور نویز خوانش، برآوردگر «تصحیح‌شده با ماتریس وارونگی» (فصل ۳۱) بهتر از فراوانی خام است؛ برای انرژی، برآوردگر وزن‌دار جمله‌های پائولی با تخصیص شات بهینه (49.9). قاعدهٔ مهندسی: هر عدد گزارش‌شده = برآوردگر + اندازهٔ نمونه + خطا؛ اگر یکی از این سه غایب است، گزارش ناقص است. برآوردگر خوب، تفاوت میان «به‌نظر می‌رسد 0.73» و «0.73 ± 0.01 (N=10⁴)» است.
6.10عدم‌قطعیت آماری
هر برآورد از نمونهٔ متناهی، نایقین است؛ کمیت‌سنج: خطای استاندارد برآوردگر — برای x̄، SE = σ/√N. قانون مقدماتی طراحی آزمایش کوانتومی: برای برآورد p با دقت مطلق δ، SE = √(p(1−p)/N) ≈ 0.5/√N ⇒ N ≈ 0.25/δ² — δ=0.01 نیاز به N≈۲۵۰۰ دارد، δ=0.001 به ۲۵۰٬۰۰۰. این فرمول، بودجهٔ شات شماست: هر رقم دقت اضافی، ۱۰۰ برابر شات می‌خواهد. برای توزیع‌ها (هیستوگرام روی 2ⁿ نتیجه)، جمع نمی‌شود مستقیم به کار برد — بازهٔ اطمینان هم‌زمان برای همهٔ خانه‌ها (بخش بعد) پرهزینه‌تر است. تلهٔ رایج: گزارش تفاوت‌هایی کوچک‌تر از خطای استاندارد («0.73 در برابر 0.71» با SE=0.02) — تفاوتی که توسط نویز قابل‌توضیح است، یافته نیست.
6.11بازه‌های اطمینان
برآورد نقطه‌ای + عدم‌قطعیت: «p = 0.73 ± 0.02 (اطمینان ۹۵٪)». ساخت کلاسیک: x̄ ± 1.96·SE (تقریب نرمال برای N بزرگ؛ 1.96 از توزیع گاوسی)؛ برای p نزدیک ۰ یا ۱، بازهٔ ویلسون دقیق‌تر است. برای کار سخت‌تر — برآورد هم‌زمان پارامترهای زیاد (توزیع کامل، فیدیلیتی‌های متعدد) — روش استاندارد: بوت‌استرپ — نمونه‌گیری مجدد با جای‌گذاری از داده، بازمحاسبهٔ برآوردگر، پراکندگی نتایج = عدم‌قطعیت؛ در پایتون ده خط و بدون فرض توزیعی؛ در محک‌های فصل ۴۶ ابزار پیش‌فرض شماست. تفسیر درست: «در ۹۵٪ از چنین آزمایش‌هایی، بازهٔ ساخته‌شده حقیقت را می‌گیرد» — نه «۹۵٪ مطمئنیم p در این بازه است» (تفاوت ظریف، پیامدهای عملی یکسان، اما ادبیات صحیح مهم است).
6.12آزمون فرضیه
چارچوب تصمیم آماری: فرض صفر H₀ (مثلاً «دو توزیع برابرند») در برابر بدیل H₁؛ آمارهٔ آزمون؛ مقدار p — احتمال دیدن داده‌ای حداقل این‌قدر افراطی اگر H₀ درست باشد؛ آستانهٔ معناداری (۰.۰۵ متعارف). برای کار شما: آزمون دو-نمونه‌ای (مان-ویتنی، t-ولچ) برای «روش A بهتر از B است»؛ آزمون کای-دو برای مقایسهٔ هیستوگرام با توزیع نظری («آیا نتایج مدار با پیش‌بینی می‌خوانند؟»)؛ و آزمون‌های هم‌ارزی برای «مطابقت» (53.6). اخلاق آماری که حوزه می‌داند و گاه فراموش می‌کند: p-value احتمال درستی فرض نیست؛ آستانه را پیش از دیدن داده ثابت کنید (پیش‌ثبتی 54.1)؛ و مقایسه‌های چندگانه را اصلاح کنید (بنجامینی–هوچبرگ) — جاروی ده پیکربندی و گزارش بهترین، شانس خالص جلوه‌گر خطا تولید می‌کند.
6.13روش‌های مونت‌کارلو
نمونه‌گیری تصادفی به‌عنوان موتور محاسبه: تخمین انتگرال با پرتاب نقاط (خطای 1/√N — کند اما همه‌جا-کارا)، شبیه‌سازی سیستم‌های تصادفی، و انتشار عدم‌قطعیت (ورودی تصادفی ⇒ خروجی تصادفی). در محاسبات کوانتومی، مونت‌کارلو در دو ظرف ظاهر می‌شود: (الف) اجرای شات-محور شبیه‌ساز، خودش مونت‌کارلو است — توزیع کوانتومی با نمونه‌گیری تخمین زده می‌شود (و «برآورد دامنه» — نسخهٔ کوانتومی شتاب‌یافتهٔ مونت‌کارلو — کاربرد مالی فصل ۵۰ است)؛ (ب) فیزیک کلاسیکِ پشت کوانتوم (انتگرال‌های مسیر، روش‌های QMC در شیمی) مونت‌کارلو-محور است — و درک محدودیت‌هایش (مشکل علامت فرمیونی) به فهم اینکه «چرا کوانتومی» کمک می‌کند. عملی: rng بذردار، N بزرگ، بازهٔ اطمینان روی خروجی — مونت‌کارلو بدون خطا، فقط یک عدد است.
6.14چرا آزمایش‌های کوانتومی آماری‌اند
جمع‌بندی فصل، به‌عنوان پل به بخش‌های بعد. منشأ آماری بودن: (۱) خود قاعدهٔ برن — نتیجهٔ تک‌اندازه‌گیری تصادفی است؛ (۲) نمی‌توان حالت را رونوشت کرد یا بدون تخریب خواند (عدمronوشت) — پس هر شات، مصرف یک آماده‌سازی است؛ (۳) نویز سخت‌افزار، لایه‌ای از تصادفی بودن اضافه می‌کند (فصل ۲۹)؛ (۴) پس‌پردازش (برآورد فازیلیتی، رمزگشایی) خودش آماری است. نتیجه برای روش کار شما: هر «نتیجه» = برآورد + بازهٔ اطمینان؛ هر مقایسه = آزمون آماری؛ هر ادعای بهبود = توزیع روی بذرها (فصل ۴۶). آزمایش کوانتومی، آزمایش آماری است با فیزیکی گران‌قیمت زیرش — و مهندسی آمار، همان اندازهٔ مهندسی مدار بخشی از شغل شماست.